pdf версия (для печати, обе стороны листа: ma-pk.pdf, нечетная сторона: ma-1-pk.pdf, четная сторона в обратном порядке: ma-2-pk.pdf). pdf версия для чтения с экрана телефона: ma.pdf

Содержание

1  Системы линейных алгебраических уравнений
    1.1  Методы решения СЛАУ
    1.2  Решение СЛАУ с несколькими решениями
    1.3  Метод элементарных преобразований
    1.4  Задачи про прямую на плоскости
2  Матрицы
    2.1  Операции с матрицами
        2.1.1  Сложение, вычитание и умножение на число
        2.1.2  Умножение матриц между собой
        2.1.3  Свойства операций с матрицами
    2.2  Матрицы и системы линейных уравнений
    2.3  Матрицы и метод наименьших квадратов
        2.3.1  Транспонирование матриц
        2.3.2  Алгоритм улучшения систем линейных уравнений
    2.4  Обратная матрица
        2.4.1  Единичная матрица
        2.4.2  Определение обратной матрицы
        2.4.3  Матричные уравнения
        2.4.4  Экономическая модель Леонтьева
    2.5  Как искать обратную матрицу
        2.5.1  Самый хороший алгоритм поиска обратной матрицы
3  Аналитическая геометрия
    3.1  Вектора и направленные отрезки
    3.2  Координаты точек и векторов. Операции с векторами и координатами.
    3.3  Скалярное произведение
        3.3.1  Нахождение длин и углов через координаты
        3.3.2  Условие перпендикулярности векторов
    3.4  Вектора и координаты в пространстве
    3.5  Параметрическое уравнение прямой
    3.6  Плоскость в пространстве
4  Производная и дифференцирование
    4.1  Производная многочлена
    4.2  Таблица производных
    4.3  Производная сложной функции
    4.4  Производная произведения и дроби
        4.4.1  Если вам встретится несколько умножений подряд
    4.5  Производные смешанных выражений
    4.6  Производные корней, логарифмов и степеней
    4.7  Производная показательно-степенных функций
    4.8  Смысл производной
        4.8.1  Возрастание, убывание и производная
        4.8.2  Максимум и минимум
    4.9  Применение производной
        4.9.1  Задача про оптимальную цену продажи
Index
Ответы на упражнения
Предметный указатель

1  Системы линейных алгебраических уравнений

Система линейных уравнений выглядит примерно так:
Для удобства восприятия удобно её записывать в "отформатированном виде":
Пример 1 Вот красиво записанная система уравнений.
Решением системы уравнений называются такие числа, которые после подстановки превращают все уравнения в верные равенства.
Пример 2 Числа (1;2;3) т.е. x=1, y=2, z=3 есть решение системы из примера 1. Действительно, после подстановки и вычислений
получим верные равенства.
В природе встречаются системы с несколькими решениями:
Пример 3 [Система с несколькими решениями] Вот система уравнений
Вот её решения:
x=1, y=1 - одно решение,
x=2, y=2 - второе решение,
x=3, y=3 - третье решение,  ...
И встречаются системы вообще без решений:
Упражнение 1 Докажите, что у этой системы
нет и не может быть решений.

1.1  Методы решения систем линейных алгебраических уравнений

Основной метод решения - метод исключения неизвестных. Его суть в многократном применении заклинания:
Выразить одну неизвестную из одного уравнения и подставить в остальные уравнения.

Пример 4 Решим систему из примера 1. Сначала выразим y из первого уравнения
y=−3 + 2·x + z
и подставим во второе:
и третье
В результате получим систему с меньшим числом неизвестных
(1)
и формулу для нахождения "выраженной" неизвестной
y=−3 + 2·x + z .
(2)
Теперь применим метод исключения неизвестных к системе (1). Выразим x из первого уравнения
x=10 − 3·z
и подставим в оставшееся уравнение
и в формулу (2) для "выраженной" неизвестной
y = −3 + 2 ·(10 −3·z) + z = −3+20 −6·z + z = 17 − 5·z.
Получилась совсем простая система из одного уравнения с одной неизвестной
и две формулы для нахождения двух исключенных неизвестных
Осталось "выразить" значение z=3 и, "подставив" в формулы для нахождения x и y, найти значения y=2 и x=1.

1.2  Решение систем линейных уравнений с несколькими решениями

У систем уравнений может быть и бесконечно много решений (см. пример 3). Выписать все решения, разумеется, невозможно, но зато можно найти формулы для удобного нахождения всех решений.
Например, возьмем систему
Исключая неизвестные так же, как это сделано в разделе 1.1, получим формулы
(3)
Эти формулы называются общее решение системы уравнений.
Просто решения (их иногда называют частные решения системы уравнений) легко получить, подставляя в формулы (3) вместо z (эту неизвестную иногда называют "свободная неизвестная") любые числа1. Например:
  1. Подставив в (3) вместо z число 0, получим: x=17, y=10, z=0. Это одно частное решение.
  2. Подставив вместо z число 1, получим x=12, y=7, z=1 - еще одно частное решение.
  3. И так далее.
Таким образом, по общему решению можно найти сколько угодно просто решений (частных решений).

1.3  Метод элементарных преобразований

Элементарное преобразование (системы уравнений) - это когда
одно уравнение умножают на число и прибавляют к другому уравнению.

Пример 5 Возьмем систему, содержащую уравнения
(4)
и применим преобразование "первое уравнение умножить на −2 и прибавить ко второму". Умножать мы будем "в уме", т.е первое уравнение не изменится, и его мы просто перепишем. Во втором уравнении имеет смысл проделать вычисления отдельно для каждой неизвестной:
(1·x)·(−2) + (5·x)
= 3·x
(2·y)·(−2) + (6·y)
= 2·y
(3·y)·(−2) + (7·y)
= 1·y ,
и для "правой части"
4·(−2) + 8 = 0 .
В результате получится новая система
(5)
Самое ценное для нас свойство элементарного преобразования - следующее:
Утверждение 1 Элементарное преобразование не меняет решений системы уравнений. (Т.е. у системы (4) и системы (5) решения одинаковые).
Заметим, что процесс "выразить и подставить" из раздела 1.1 можно представлять себе как несколько элементарных преобразований.
Например, взяв систему из примера 1
и применив два элементарных преобразования: "первую строчку умножить на 1 и прибавить ко второй" и "первую строчку умножить на −2 и прибавить к третьей", получим систему
которая представляет из себя то же, что и система (1) (только формула для выражения y осталась в виде первого уравнения).
То, что в случае применения метода "выразить и подставить" называлось "исключение неизвестной", в случае применения метода элементарных преобразования выглядит как "прополка колонки" - в новой системе появляется колонка, в которой почти ничего нет.
Элемент, который "играет активную роль" в "прополке" и который остается в той самой колонке, называется ведущий элемент. (В прошлый раз ведущим элементом был y из первого уравнения).
Так вот, для того, чтобы последовательность элементарных преобразований работала так же, как метод исключения неизвестных,
ведущий элемент следует выбирать в тех строчках, в которых он еще не выбирался.

Так что следующим ведущим элементом следует выбирать что-нибудь из второго или третьего уравнения. Выберем, например, x из второго уравнения и применим: "Умножить второе уравнение на 2 и прибавить к первому" и "умножить второе уравнение на −5 и прибавить к третьему". В результате получится
Осталось "прополоть" третью колонку, используя −8·z как ведущий элемент и, получив
найти ответ.
Отметим, что элементарное преобразование проще (чем метод исключения неизвестной) записывать ручкой на бумаге и проще запрограммировать.

1.4  Задачи про прямую на плоскости

В школе учили, что уравнение прямой на плоскости имеет вид
y=k·x + b,
(6)
где x, y - буквы а k и b - числа.
Например, y=2·x +3 - уравнение прямой, а 3=2·x + b - непонятно что.
Связь между прямой и уравнением осуществляется через координаты:
  1. Если координаты точки на прямой подставить в уравнение, то получится верное равенство.
  2. Если к числам, которые после подстановки в уравнение прямой дают верное равенство, отнестись как к координатам точки, то эта точка будет на прямой.
Пример 6 [Как нарисовать прямую по уравнению] Уравнение прямой - это как бы система из одного уравнения с двумя неизвестными. Найдем несколько решений так, как написано в разделе 1.2, посмотрим на решения как на координаты точек, нарисуем эти точки и проведем через них прямую. Обычно хватает двух точек, но для надежности можно нарисовать и больше.
Упражнение 2 Нарисовать прямую .
Рис. 1: Ответ к упражнению 2
-->
Пример 7 [Как по точкам найти прямую] План действий следующий: берем координаты точек на прямой (достаточно двух точек) и подставляем в "заготовку"
y=k·x + b
(7)
вместо букв x и y. Получится система из нескольких уравнений. Решим её, т.е. найдем значение k и b, и подставим в "заготовку". Вместо букв x и y в "заготовку" ничего подставлять не надо, пусть так буквами и остаются. В результате получится уравнение прямой.
Приступим к реализации:
Рис. 2: Картинка с прямой на плоскости
Линия изображена на рисунке 1. Видно, что она проходит через точки с координатами (−1;7) и (4;−6). Подставляем в "заготовку" (7):
Решив систему, получим k=1/5 и b = −34/5. Итого:
Для проверки следует подставить координаты тех самых точек (т.е. точек с координатами (−1;7) и (4;−6)) в свежеполученное уравнение:
Получились два верных равенства, и, значит, всё правильно.
Упражнение 3 Найдите уравнение прямой, проходящей через точки (−6;−8) и (4;−6).
Пример 8 [Как найти точку пересечения прямых] Берем два уравнения прямых, записываем их одно под другим и получаем систему уравнений. Решив её, найдем точку пересечения.
Упражнение 4 Найдите точку пересечения прямых и .

2  Матрицы

Матрица  - это таблица из чисел. Вот пример матрицы с двумя строчками и тремя колонками.
Скобки не являются частью матрицы, они тут для отделения матрицы от окружающего пространства.
Обычно, когда говорят про матрицы, то сначала упоминают строчки и потом колонки. Например, матрица сверху это матрица 2×3, а не 3×2. И это же касается элементов матрицы, например, 6 - это элемент с номером 2 3, т.е. элемент из второй строчки и третьей колонки.
Матрицы в математике нужны для того же, для чего нужны подпрограммы в программировании, с их помощью можно сложные формулы с числами записать в виде простых формул, но с матрицами.
Именно для записи формул с матрицами и понадобятся

2.1  Операции с матрицами

Которые обозначаются примерно так же, как и операции с числами - "точкой" "крестиком" и "палочкой"2.

2.1.1  Сложение, вычитание и умножение на число

Делается так же, как и аналогичные операции с векторами, так сказать, поэлементно:
Пример 9

Заметим, что не любые матрицы можно складывать и вычитать, у них должны быть одинаковые размеры.

2.1.2  Умножение матриц между собой

Принципиально отличается от сложения и вычитания. Оно делается по заклинанию
строка на столбец.

Вот пример такого умножения:
Пример 10
Это делается так:
  1. Выбираем строчку левой матрицы и столбец правой.
  2. Производим что-то типа скалярного произведения - перемножаем и складываем.
  3. Результат (это число) записываем в "ячейку", у которой такой же номер строчки и номер столбца.
  4. Проделываем это действие для всех строчек левой матрицы и всех столбцов правой.
Например, число 64, стоящее в первой строке и втором столбце, получилось как результат умножения чисел 1 2 3 из первой строки левой матрицы на 8 10 12 из второго столбца правой матрицы:
1·8 + 2 ·10 + 3·12=64.
Упражнение 5 Примените заклинание "строка на столбец" к оставшимся строкам и столбцам и убедитесь, что мы вас не обманываем.
Заметим, что не любые матрицы можно перемножать. Их размеры должны соответствовать заклинанию "строка на столбец", т.е. количество элементов в строке левой матрицы равно количеству элементов в столбце правой.

2.1.3  Свойства операций с матрицами

Примерно такие же, как и у аналогичных операций с числами, но не совсем. Как показывает следующий пример, при перестановке множителей результат может измениться.
Пример 11

А как показывает этот
Пример 12

может и не измениться.
Упражнение 6 Погуглите "свойства операций с матрицами" и внимательно изучите остальные свойства.

2.2  Матрицы и системы линейных уравнений

Вам, наверное, интересно, почему для умножения матриц математики придумали такое хитрое правило? А вот почему:
Посмотрите внимательно на эту формулу:
Это похоже на левую часть системы линейных уравнений. И действительно, теперь
Пример 13 Систему линейных уравнений:
можно записать в виде матричного уравнения:

2.3  Матрицы и метод наименьших квадратов

Выше  вы узнали, что матрицы нужны для простой записи сложных формул. Сейчас вы узнаете пример такой формулы.
Как известно, не у всех систем линейных уравнений есть решение. Но что делать, если решения нет, а найти его очень хочется? Такое странное желание возникает естественным образом при обработке не очень точных данных. Как известно, через любые две точки проходит прямая, и вы знаете, что для её нахождения нужно решать систему линейных уравнений (как это делалось в примере 7).
Предположим, координаты точки - результат некоторого измерения и этих точек не две а три или больше. Если все измерения идеально точны (как на рисунке 1), то можно сделать как раньше, и у вас получится система из более чем двух уравнений с двумя неизвестными и у неё будет решение.
Но что, если из за ошибок измерения эти точки не лежат на одной прямой (как на рисунке 2, например)?
Рис. 3: Точки не на прямой
В "реальной жизни" выход есть - нужно провести прямую не через точки, а близко от точек (как на рисунке 3).
Рис. 4: Прямая вблизи точек
Человеческий мозг - штука мощная, и с этим легко справляется, но как это запрограммировать?
Если попытаться просто действовать так, как будто точки лежат на одной прямой, (т.е. как в примере 7) то, вы получите систему у которой нет решения (т.к. точки не лежат на одной прямой), но которую очень хочется решить.
(8)
Напомним, что решение системы уравнений - это числа, которые после подстановки в уравнения вместо неизвестных превращают все уравнения в верные равенства. Мы будем искать псевдорешение - числа, которые после подстановки превращают уравнения в почти верные равенства.
Например, посмотрев на рисунок 3, и определив "на глаз"3 уравнение прямой:
y ≈ 0.4·x + 3 ,
можно обнаружить, что числа k ≈ 0.4 и b ≈ 3, после подстановки в систему (8), дадут те самые почти верные равенства.
Упражнение 7 Подставьте и проверьте.
В этот момент у вас должно возникнуть два вопроса:
  1. Что значит "почти" и "близко"?
  2. При чем тут "наименьшие квадраты" и почему нет "наибольших ромбов" например?
Любопытные могут погуглить Википедию, а мы трусливо смело проигнорируем эти и остальные вопросы и перейдем сразу к алгоритму решения:
  1. Заменяем систему без решения на другую, "улучшенную" систему, у которой решение уже есть.
  2. Решение улучшенной системы и будет псевдорешением первой (той, у которой нет решения).
Например, систему (8) заменим на
(9)
(Почему именно на неё, написано ниже, в примере 15). Её решением как раз и будут k=18/41 ≈ 0.439024 и b=124/41 ≈ 3.02439. И та самая линия на рисунке 3 задается уравнением
y = 0.439024·x + 3.02439 .
Замечание 1 Кстати, линия на рисунке 3 по научному называется линией регрессии, а система уравнений (9) называется нормальной системой уравнений.
Для реализации алгоритма понадобятся "формулы", превращающие числа из исходной системы в числа в улучшенной системе, и вот эти формулы как раз легко записать "через матрицы". Но сначала нам понадобится одно техническое понятие:

2.3.1  Транспонирование матриц

Транспонирование  - это как бы переворачивание матрицы через главную диагональ.
Пример 14 Исходная матрица:
транспонированная матрица:
Как видите, при транспонировании строчки превращаются в столбцы, а столбцы в строчки.
Обозначается транспонирование AT, т.е.4
Итак , продолжим излагать

2.3.2  Алгоритм улучшения систем линейных уравнений

  1. Берем систему уравнений, записываем в матричном виде (как это сделано в примере 13) и получаем матричное уравнение вида
    A·X=Y .
  2. Умножаем обе части матричного уравнения на транспонированную A слева:
    AT·A·X = AT·Y
    и получаем новое матричное уравнение.
    (AT·A) ·X = (AT·Y) .
  3. Записав его обратно в виде системы уравнений, получим то, что нам и нужно - "улучшенную систему".
Пример 15 Система уравнений (8) в матричном виде выглядит так:
После умножения на транспонированную получится:
Умножив и записав в виде системы уравнений, получим систему (9) .
Упражнение 8 Измерьте и взвесьте своих одногруппников и получите формулу, позволяющую по росту находить вес "типичного студента". Сколько будет весить студент с ростом три метра?
Упражнение 9 Погуглите "Периодизация финансовой истории постдефолтной России Подлазов А.В.", прочитайте и поймите, как были сделаны вычисления.

2.4  Обратная матрица

Матрицы можно умножать, но делить матрицы нельзя. Но если очень хочется, то можно это сделать с помощью умножения на обратную матрицу.
Деление умножением вы проходили в школе, сейчас мы вам это напомним: Представьте, что у вашего калькулятора сломалась кнопка "поделить", но вам очень нужно найти 123456789/4. Вспомним, что 4 обратно к 0.25 (т.к. 4·0.25=1), и "поделим умножением": 123456789/4=123456789·0.25. Примерно так мы и будем "делить на матрицу".
Хотелось бы определить обратную матрицу подобно обратным числам (если a·b = 1, то a обратно b и b обратно к a), но произведение матриц - это матрица а не число, и оно не может равняться единице. Так что сначала понадобится матричный аналог единицы.

2.4.1  Единичная матрица

Это квадратная матрица, у которой по главной диагонали (той, которая идет от верхнего левого угла в правый нижний) стоят единицы, а в остальных местах нули. Размеры могут быть разные, так что единичных матриц много.
Пример 16 Вот это единичные матрицы разных размеров:
Обычно, единичную матрицу обозначают буквой E.
Важно, чтобы единички стояли по главной диагонали (сверху слева вниз направо), иначе это не единичная матрица.

Единичная матрица при матричном умножении ведет себя как обычное число 1 при обычном умножении чисел т.е.:
A·E=A     и     E·A = A .
Упражнение 10 Умножьте единичную матрицу на и убедитесь, что мы вас не обманываем.
Упражнение 11 Перемножьте с и поймите, почему единички должны обязательно стоять на главной диагонали.

2.4.2  Определение обратной матрицы

Вот теперь мы можем определить обратную матрицу:
Определение 1 Если A·B = E , то A обратна к B и B обратна к A5.
Пример обратной матрицы приведен выше, в примере 12.
Упражнение 12 Какой будет матрица, обратная к ?
Замечание 2 Кроме того:
  1. Обратные матрицы бывают только у "квадратных" матриц. Даже если произведение двух "прямоугольных" матриц равно единичной (не слабо ли вам придумать пример таких матриц?), называть одну из них обратной воспрещается.
  2. У некоторых матриц обратной нет. Например, у матрицы, состоящей только из нулей. Но не только у неё.
  3. Подобно числам, обратную матрицу обозначают "минус первой степенью".
  4. Если вы скажете на экзамене, что "Обратная матрица это матрица в минус первой степени", вам поставят двойку.
Упражнение 13 Чему равна ?

2.4.3  Матричные уравнения

С помощью обратной матрицы можно делать примерно то же, что и с числами при помощи деления, т.е. решать уравнения.
Пример 17 [Задача про матричные уравнения] Дано уравнение
A·X = Y ,
например
(10)
Нужно найти матрицу X.
Если бы это были просто числа, то вы бы поделили (или умножили на обратное число). Мы тоже будем умножать на обратную матрицу (её возьмем из упражнения 12), но с какой стороны умножать? Сейчас мы испытаем оба способа и выберем подходящий.
Испытание первое:
X = A−1 ·Y
или
Испытание второе:
X = Y ·A−1
или
Получилось "два ответа", но правильный из них только один. Чтобы узнать, который, следует сделать проверку, т.е. подставить X в исходное уравнение (10):
Проверка первого варианта:
Ураааа!!! Сошлось!
Проверка второго (на всякий случай):
Не сошлось.
Итак, правильный ответ:
Упражнение 14 Решите другое уравнение:
Указание для преподавателей, которое из-за технической ошибки попало в текст методички: Конечно, правильней было бы рассказать про умножения обеих частей равенства на обратную матрицу с одной стороны для одного уравнения:
A·X=YA−1 ·A·X = A−1 ·Y
E·X = A−1 ·YX = A−1 ·Y ,
и, аналогично, с другой стороны для другого. Но практика показывает, что основной контингент проигнорирует все объяснения и просто попытается запомнить, с какой стороны умножать. На контрольной всё перепутает и проверку делать не будет. Так что у алгоритма "попробовать оба способа и потом сделать проверку" есть некоторое дидактическое преимущество.

2.4.4  Экономическая модель Леонтьева

Сейчас мы расскажем вам то, за что дали Нобелевскую премию (но это не точно).
Представьте себе остров Чунга-чанга, на котором выращивают кокосы и бананы. Местные Чунгачанговцы часть кокосов и бананов съедают сами, остальное отдают своим заокеанским хозяевам.
Предположим для определенности, что при выращивании тонны кокосов они съедают 100 килограмм кокосов и 300 килограмм бананов. При выращивании тонны бананов - 200 килограмм кокосов и 600 килограмм бананов.
Постановка задачи такая: Какой урожай следует запланировать, чтобы вывезти с острова 60 тонн кокосов и 60 тонн бананов?
Для решения введем обозначения: U - таблица с урожаем, X - таблица со съеденным продуктом и V - таблица с вывезенным продуктом. В нашем случае
Тут, под первым номером идут кокосы, а под вторым бананы. (Понятно. что если бы выращивали не только кокосы и бананы, а еще и кукурузу и помидоры, то в таблице было бы больше двух чисел).
Между выращенным и съеденным есть очевидная зависимость:
Действительно, т.к. при выращивании 1 тонны кокосов съедается 100 кг = 0.1 тонна кокосов, то при выращивании u1 кокосов съестся u1 ·0.1 кокосов. Аналогично с бананами, на u2 бананов съестся u2 ·0.2 кокосов. Осталось сложить съеденные кокосы, и получится первое уравнение. Второе получается аналогично.
Между выращенным, съеденным и вывезенным есть очевидная зависимость:
Действительно, т.к. всё что не съели то вывезли.
Эти зависимости можно записать в матричном виде:
X = A·U   и   V=UX ,
(11)
где
(Кстати, если продуктов не два, а много-много, то зависимости в матричном виде будут те же самые. Вот какие матрицы полезные).
Итак, наша цель - научиться находить запланированный урожай, т.е. U.
Уравнения (11) очень простые, если бы они были "про числа", то вы бы легко выразили U через V. С матрицами это так же просто, но нужно не забывать, что роль 1 теперь играет единичная матрица E:
(EAU = V   или   U=(EA)−1 ·V
Осталось найти обратную матрицу и умножить.
Кстати, в экономических науках матрица A называется "матрица прямых затрат", а матрица (EA)−1 - "матрица полных затрат".
Упражнение 15 Погуглите "обратная матрица онлайн", найдите ту самую обратную матрицу и узнайте, какой урожай надо запланировать для вывоза с острова 60 тонн кокосов и 60 тонн бананов.

2.5  Как искать обратную матрицу

Оказывается , для обратной матрицы есть готовая формула. Очень удобно, подставляем в нее числа из матрицы, вычисляем по формулам, и готово. Для матриц размера 2×2 эта формула очень простая:
Утверждение 2 Если
(12)
то
(13)
Упражнение 16 Найдите .
Упражнение 17 Перемножьте матрицу (12) с формулой (13) и убедитесь, что мы вас не обманываем.
Для матриц большего размера аналогичные формулы тоже есть, но они ооооочень большие. Так что для матриц размера больше чем 2×2 следует применять

2.5.1  Самый хороший алгоритм поиска обратной матрицы

Даже если вы попали на необитаемый остров, и там совсем нет учебников и справочников, вы сможете найти обратную матрицу наиболее прямолинейным и неинтересным способом - просто решив систему уравнений:
Обозначим n×n элементов пока неизвестной обратной матрицы n×n буквами, перемножим и приравняем к единичной. Получится система уравнений из n2 уравнений с n2 неизвестными.
Пример 18 Найдем  . Т.е. найдем числа a, b, c и d в уравнении
Перемножим
и, записав это равенство "поэлементно", получим систему уравнений:
Решив её, найдем обратную матрицу.
На этом можно было бы и остановиться, но присмотревшись к системе, можно заметить, что она распадается на n систем с n уравнениями, и каждая со своими n неизвестными.
Пример 19 В предыдущем примере можно было бы решать две системы:
Так что если вас на необитаемом острове n человек, то вы можете "распределить нагрузку" и решать эти системы одновременно.
На этом можно было бы и остановиться, но если вы уже освоили метод элементарных преобразований (про это написано в разделе 1.3), то вы сможете заметить, что у этих систем одинаковая левая часть. Значит, и преобразования нужно делать одинаковые.
Упражнение 18 Убедитесь , что эти преобразования такие: Сначала первое уравнение умножить на −3 и прибавить ко второму. Затем второе умножить на −2 и прибавить к первому.
Это значит, что только одному из n вас на острове нужно будет выбирать преобразования и обсчитывать левую часть системы уравнений, а остальным n−1 можно будет списывать вычисления в левой части и самостоятельно обсчитывать только правую.
На этом можно было бы и остановиться, но поскольку неизвестные находятся всегда на одних и тех же местах, то можно их не писать, а писать только коэффициенты.
Пример 20 Это таблица - коэффициенты из двух систем из предыдущего примера:
"Палочки" вставлены для разделения, они ничего не обозначают. А если не повторять повторяющуюся часть, то это же можно записать более компактно
Таким образом, у вас на необитаемом острове получится таблица с n строками и 2·n столбцами, представляющая из себя n систем уравнений в компактной форме записи. И теперь вы можете в одиночку, одновременно, решить те самые n систем уравнений.
Пример 21
Если к этой удвоенной матрице применить преобразования из упражнения 18, то получится
и, превратив эту удвоенную матрицу обратно в системы уравнений, получим:
Так что обратная матрица из примера 18 будет такой:
Упражнение 19 Проделайте эти преобразования и убедитесь, что мы вас не обманываем.
Именно этот алгоритм поиска обратной матрицы является самым оптимальным и легко программируемым6.
Если вы на необитаемом острове как бы Робинзон, то ваш Пятница, заглядывая вам через плечо, заметит, что вы просто
  1. Записали возле исходной матрицы единичную.
  2. Применяли те преобразования по строкам, которые можно применять к системам уравнений, т.е.:
    1. "Умножить строку на число и прибавить к другой строке",
    2. "умножить или поделить строку на ненулевое число" и
    3. "переставить строки".
  3. В тот момент, когда слева образовалась единичная матрица, справа, как по волшебству, появилась обратная.
  4. "Ай какой сильный колдунство!" закричит Пятница, упадет перед вами на песок и поставит вашу ногу себе на голову7.
К сожалению, почти все читатели этого текста запомнят последние четыре пункта и забудут всё остальное.

3  Аналитическая геометрия

Как вы помните из школы, геометрия состоит из прямых, отрезков, треугольников, длин, углов и прочих геометрических объектов, которые можно рисовать, смотреть на них глазами и измерять линейками и транспортирами.
И даже ваши любимые компьютерные игрушки снаружи выглядят, как эти самые геометрические объекты, соединенные между собой, но внутри компьютера только числа, как вы, наверное, знаете.
В связи с этим возникает исключительно важная задача - превратить все эти отрезки, углы и треугольники в числа для последующего засовывания в компьютер.
Это делается с помощью метода координат, с которым знакомы все игравшие в "морской бой": на плоскости рисуется воображаемая "бумага в клеточку", у точек появляются координаты, и эти числа - координаты - и будут обрабатываться компьютером.
Геометрические действия типа соединения и разделения геометрических фигур, а также измерения длин и углов, делаются с помощью большого количества специальных формул. Этих формул очень много, но у них есть повторяющиеся части, и мы поступим как программисты - оформим эти части в виде подпрограмм.
Две основные части, которым мы и уделим максимум внимания - вектор (раздел 3.1) и скалярное произведение (раздел 3.3).

3.1  Вектора и направленные отрезки

Направленный отрезок  - это отрезок, к которому пририсовали стрелочку, т.е., получится отрезок, один конец которого называется "начало направленного отрезка", а другой конец (тот, что со стрелочкой) называется "конец направленного отрезка".
Вектор - это длина и направление в одном флаконе. Например, "три метра" это длина, "вверх" - направление, а "три метра вверх" - вектор.
Вектор отличается от направленного отрезка тем же, чем длина отличается от отрезка, и направление отличается от стрелочки:
  1. Вектор нельзя нарисовать (вы не сможете нарисовать "три метра вверх"), но можно нарисовать направленный отрезок с такой же длиной и направлением (видели в лесу трехметровую ёлочку?).
  2. Вектора с одинаковыми длинами и направлениями равны ("три метра вверх" это "три метра вверх"), но можно нарисовать несколько направленных отрезков с одинаковой длиной и направлением (в лесу много трехметровых ёлочек).
  3. У вектора нет начала и нет конца (где начинается три метра вверх?), но они есть у направленного отрезка.
Предостережение: Изображение лица на фотографии иногда называют "лицо на фотографии", и это обычно не вызывает недоразумений, так как только немногие могут подумать, что это кожу с черепа содрали и на бумажку приклеили. Аналогично, направленный отрезок тоже иногда называют вектором (но имеют в виду именно направленный отрезок), и про вектор говорят то, что можно говорить только про направленный отрезок. Например, фраза "вектор идущий от точки A к точке B" обычно означает "вектор, который можно изобразить в виде направленного отрезка с началом в точке A и концом в точке B".
Ситуация ещё более осложняется тем, что в физике есть понятие "свободный вектор" (это просто вектор) и "закрепленный вектор" (это направленный отрезок).
Обычно вектора обозначают "стрелочкой сверху", примерно так: . В HTML версии, по техническим причинам, вектора будут обозначаться жирным шрифтом, примерно так: a.

3.2  Координаты точек и векторов. Операции с векторами и координатами.

Координаты точек в обыкновенной прямоугольной декартовой системе координат проходят в школе.
Координаты векторов находятся по заклинанию
из конца вычесть начало,

с которым вас тоже познакомили в школе.
Упражнение 20 Возьмите бумажку в клеточку, нарисуйте там несколько направленных отрезков и убедитесь, что заклинание находит координаты вектора, а не направленного отрезка.
Пример 22 На рисунке 4
Рис. 5: Картинка с векторами
изображены векторы a и b. Найдем координаты вектора 2·a −3·b.
"Начало вектора" b изображено в точке с координатами (9;−9), а "конец вектора" - в точке с координатами  (3;−3). Найдем координаты вектора по заклинанию "из конца вычесть начало": Первая координата b равна 3 − 9 = −6, а вторая −3 − (−9) = 6. Таким образом, b = (−6;6). Точно так же находим координаты a = (6;3).
Вспомним, что при умножении вектора на число, его координаты умножаются на это число, а при сложении векторов их координаты складываются8. Таким образом, координаты вектора 2·a −3·b будут
a −3·b = 2·(6;3) −3 ·(−6;6) = (2·6; 2·3) − (3·(−6); 3·6) = (12; 6) − (−18; 18) = (30;−12).
Упражнение 21 Найдите координаты вектора 3·a + b.
Пример 23 [Задача про координаты концов вектора] Если мы знаем координаты начала и конца вектора, то координаты вектора находятся по заклинанию "из конца вычесть начало" (см. пример 22). Как найти координаты конца вектора, если мы знаем только координаты вектора (например, (−6;6)) и координаты его начала (например, (9;−9))? А вот как:
  1. Обозначим координаты начала (x;y), и по заклинанию "из конца вычесть начало" составим уравнения: x − 9 = −6 и y − (−9) = 6.
  2. Решив их, найдем x=3, y=−3.
Так что, фактически, координаты конца вектора находятся по заклинанию "к координатам начала прибавить координаты вектора".
Упражнение 22 AB=(4;2), B=(5;4). Найдите координаты точки A.
Пример 24 [Задача про вершину параллелограмма] Даны координаты трех вершин параллелограмма ABCDA=(2;1), B=(5;2), D=(3;5). Найдем координаты четвертой вершины.
Заметим, что если пририсовать к сторонам стрелочки, то получится картинка про сложение векторов по правилу параллелограмма. Т.е., получается формула:
Так и будем решать: Сначала найдем координаты векторов AB = (3;1) и AD = (1;4) (как это сделано в примере 22). Найдем AC = AB + AD = (3+1 ; 1+4) = (4 ; 5) и по точке и вектору найдем (как это сделано в примере 23) координаты C = (6;6).
Упражнение 23 Координаты точек A, B и D - как в примере 24. Найдите координаты точки C в параллелограмме ABDC9.
Пример 25 [Задача про деление отрезка] Даны координаты вершин отрезка A=(2;3), B=(8;5), например. Некоторая точка C делит отрезок в некотором отношении, например, пополам. Нужно найти координаты этой точки.
Сведем задачу к векторам. Пририсовав стрелочки, мы увидим два вектора AB и AC, направленные в одну сторону. Следовательно, один из них получается из другого после умножения на число. Поскольку нам нужно делить отрезок пополам, то это число 1/2, точнее, AC = (1/2)·AB.
Найдем координаты AB (как это сделано в 3.2) и умножим на 1/2: AC = (1/2)·(8−2 ; 5−3) = (1/2)·(6;2) = ( (1/2)·6 ; (1/2)·2) )=(3;1). Осталось найти (как это сделано в 23) координаты точки C=(5;4).
Упражнение 24 Найдите координаты точек, которые делят отрезок AB из примера 25 на три одинаковые части.

3.3  Скалярное произведение

Как известно, у векторов есть две наглядные геометрические характеристики - длина вектора и угол между векторами. Но, поскольку у нас в компьютере вектора хранятся в виде чисел (координат), то нам понадобятся формулы, позволяющие находить длины и углы по координатам. Это большие и сложные формулы, но у них есть повторяющаяся часть, о которой мы сейчас и поговорим.
Если a=(α12) и b=(β12) - координаты векторов, то их скалярное произведение находится по формуле
α1 ·β1 + α2 ·β2.
(14)
Заклинание для запоминания:
сумма произведений координат.

Само скалярное произведение обозначается "скобочками" - (a, b). Иногда его обозначают "точкой" - a·b или "острыми скобочками" - 〈a,b 〉.
Пример 26 Если a=(1;2) и b=(3;4), то их скалярное произведение
(a, b) = 1·3 + 2·4 = 11.
У числа, найденного по формуле (14), есть геометрический смысл - это произведение длин векторов на косинус угла между ними.
(a,b)=|a|·|b|·cos(α),
(15)
где |a| и |b| - длины векторов, а α - угол между векторами a и b.

3.3.1  Нахождение длин и углов через координаты

Если применить формулу (15) "в обратную сторону", то получим формулы для нахождения длин и углов через скалярное произведение:
(16)
где α - угол между векторами a и b.
Упражнение 25 В треугольнике ABC координаты точек A=(1;1), B=(2;5) и C=(4;2). Найдите длины отрезков AB и AC. Найдите угол A (или хотя бы его косинус).
Упражнение 26 Найдите площадь треугольника из упражнения 25. (Подсказка: используйте формулу про произведение длин сторон на синус угла. Синус можно найти "через косинус").

3.3.2  Условие перпендикулярности векторов

Из формулы (15) видно, что выполняется
Утверждение 3 Два вектора перпендикулярны друг другу, если их скалярное произведение равно нулю.
И наоборот, если два вектора перпендикулярны друг другу, то их скалярное произведение равно нулю.
Это позволяет легко проверять перпендикулярность.
Пример 27 a = (1;2) перпендикулярен b = (20;−10) т.к. (a, b ) = 1·20 + 2·(−10) = 0. a = (1;2) не перпендикулярен d = (3;4) т.к. (a, d ) = 1·3 + 2·4 ≠ 0.
Пример 28 [Задача про перпендикулярный вектор] Дан вектор на плоскости. Например, a = (1;2). Нужно придумать перпендикулярный к нему вектор.
Будем искать нужный вектор в виде b = (x;y). Вспомним про критерий перпендикулярности из утверждения 3 и составим уравнение с двумя неизвестными:
x + 2·y = 0.
У него много решений, но нам достаточно найти одно. Ясно, что x=2 и y=−1 подойдет.
Кстати, вектор (2;−1) не только перпендикулярен a, у него еще и длина такая же. (Т.к.  ).
Упражнение 27 Найдите еще один вектор, тоже перпендикулярный a и с длиной как у a.
Пример 29 [Задача про квадрат] Даны две соседние вершины квадрата: A=(1;4) и B=(2;1). Найти оставшиеся вершины B и D.
Ясно, что у задачи два решения, оставшиеся вершины могут быть с одной стороны от отрезка AB или с другой стороны от отрезка.
Решать будем так: по заклинанию "из конца вычесть начало" найдем вектор AB=(1;−3) (как это сделано в 3.2). Найдем один из перпендикулярных к нему векторов, как это сделано в примере 28. Например, можно считать, что AD=(3;1). По точке A и вектору AD найдем координаты точки D (как это сделано в 23). Теперь мы знаем три точки в квадрате, и четвертую можно найти как в задаче 24, C=(5;2).
Упражнение 28 Найдите второе решение, т.е. вершины квадрата с другой стороны от отрезка AB.
Пример 30 [Задача про два вектора с одним направлением] Один вектор направлен в ту же сторону, что и другой. У одного известны координаты (например, a=(3;4)), у другого длина (например, |b| = 15). Найти координаты второго вектора.
Решать можно так: сначала найдем длину первого вектора по формуле 16:
Видно, что длина первого вектора в три раза меньше длины второго. Следовательно, если умножить первый вектор на 3, то как раз получится второй:
b = 3·a = 3·(3;4) = (9;12).

3.4  Вектора и координаты в пространстве

В пространстве всё почти так же, как и на плоскости, за исключением:
  1. Система координат теперь уже не "крестик", а что-то вроде "угла комнаты". Погуглив "система координат в пространстве картинки", можно её как следует рассмотреть.
  2. Координаты в пространстве - это три числа, а не два.
  3. Для нахождения скалярного произведения вместо формулы 14 следует применять формулу
    (a,b) = α1 ·β1 + α2 ·β2 + α3 ·β3,
    (17)
    где a=(α123) и b=(β123) - координаты векторов.
Пример 31 [Задача про построение перпендикулярного вектора в пространстве] Дан вектор в пространстве (например a=(1 ; 2; 3)). Найти перпендикулярный к нему.
Для наглядности, поднимите руку вверх (это будет как бы вектор). Ручка, лежащая на столе, перпендикулярна руке, т.е. как раз то, что нужно. Кстати, если на столе лежит несколько ручек, то они все как раз то, что нужно, т.е. у задачи много решений.
Для нахождения координат воспользуемся утверждением 3. Если b=(x ; y ; z) - искомый вектор, то должно выполняться равенство
x + 2·y + 3·z = 0.
Это система линейных уравнений из одного уравнения с тремя неизвестными. Решив её так, как написано в разделе 1.2, найдем одно из ненулевых решений: b=( −2 ; 1 ; 0).
Пример 32 [Задача про построение вектора перпендикулярного двум другим] Дано два вектора в пространстве. (Например, a=(1 ; 2; 3) и b=(4 ; 5; 6)). Найти вектор, перпендикулярный вектору a и перпендикулярный вектору b.
Для наглядности положите на парту перед собой две ручки. Вектор, направленный вверх - как раз то, что нужно. Кстати, вектор, направленный вниз - тоже то, что нужно, т.е. у задачи много решений.
Решать задачу будем почти так же как и примере 31: Если c=(x ; y ; z) - искомый вектор, то должны выполняться два равенства:
x + 2·y + 3·z = 0 ,
x + 5·y + 6·z = 0 .
Это система линейных уравнений из двух уравнений с тремя неизвестными. Решив её (так, как написано в в разделе 1.2), найдем одно из ненулевых решений: c=(1 ;−2 ;1 ).
Упражнение 29 Найдите ненулевой вектор, перпендикулярный векторам (0 ; 1 ; 1) и (0 ; 1 ; 2).

3.5  Параметрическое уравнение прямой

В природе существует много разнообразных уравнений прямой, но наиболее полезно из них так называемое параметрическое уравнение прямой.
Оно похоже на подпрограмму, симулирующую полет самолетика в компьютерной игрушке: на вход подаем время - на выходе получаем координаты самолетика в этот момент времени.
Для написания уравнения конкретной прямой надо знать две вещи - какую-нибудь точку на прямой (точнее, координаты точки), и какой-нибудь вектор, параллельный прямой (точнее, координаты вектора).
Определение 2 Если эта точка (x1;y1;z1) и вектор (α;β;γ), то параметрическое уравнение выглядит так:
(18)
Буква t в этом уравнении - это так называемый параметр - в него можно подставлять время.
При t=0 самолетик находится в точке (x1;y1;z1), при положительных значениях t - перелетает по направлению вектора (α;β;γ), при отрицательных - наоборот.
Сама прямая - это как бы след, оставленный этим самолетиком в небе.
Аналогично определяется параметрическое уравнение прямой на плоскости:
(19)
где (x1;y1) - точка, через которую проедет автомобильчик, (α;β) - вектор, параллельный направлению движения автомобильчика, а сама прямая - след автомобильчика на плоскости.
Упражнение 30 Найдите параметрическое уравнение прямой, которая проходит через точку (1; 2) и параллельна вектору (3; 4).
Замечание 3 Если вам дали готовое уравнение прямой, то из него можно извлечь некоторую информацию. Коэффициенты при параметре - координаты вектора параллельного прямой. Например, посмотрев на уравнение
можно сразу догадаться, что эта прямая параллельна вектору (3; 4).
Пример 33 [прямая по двум точкам] Даны две точки, A=(1;2) и B=(3;7). Требуется найти уравнение прямой, проходящей через эти точки.
Вспомним, (см. определение 2) что нам понадобится точка на прямой (она у нас есть) и вектор, параллельный прямой (подойдет AB=(3−1;7−3)=(2;4)). Итак, записываем:
Пример 34 [про столкновение автомобилей] Уравнения движения двух автомобилей задаются двумя формулами
Определить, столкнутся ли они.
Столкновение - это когда два автомобиля находятся в одно время в одном месте. Для решения достаточно соединить два уравнения в одну систему
и решить её.
Получится x=4, y=3, t=1. Т.е. они столкнутся в точке (4;3) в момент времени 1.
Пример 35 [опять про столкновение]
Уравнения движения двух автомобилей задаются двумя формулами
Соединив два уравнения в одну систему
обнаружим, что у неё нет решения. Следовательно, эти автомобильчики не столкнутся.
Пример 36 [Задача про пересечение прямых] Даны уравнения двух прямых
Найти точку пересечения.
Будем считать, что это уравнения движения двух автомобильчиков, и будем искать точку пересечения их траекторий.
Точка пересечения траекторий - это когда два автомобиля находятся в одном месте, но не обязательно в одно время. (Время разное, и этим задача о пересечении отличается от задачи о столкновении из примера 34).
Для решения мы обозначим время в уравнениях движения разных автомобильчиков разными буквами
и соединим их в одну систему:
Решив её, получим x=7, y=4, α = 2, β = 1.
Таким образом, точка пересечения прямых - (7;4). Если представлять эти прямые как траектории автомобильчиков, то мы также узнали, что первый автомобильчик был в этой точке в момент времени 2 а второй в момент времени 1.
Упражнение 31 Первая прямая проходит через точки (9; −1; 10) и (11; 0 ;12). Вторая прямая проходит через точки (3; −4; 9) и (3; −4; 10). Найдите точку пересечения этих прямых.

3.6  Плоскость в пространстве

Плоскость можно представлять себе как поверхность лужи. Она такая плоская потому, что её расплющивает гравитация, направленная перпендикулярно поверхности лужи. Вот почему для написания уравнения достаточно знать две вещи - точку на плоскости и перпендикулярный к плоскости вектор.
Определение 3 Если координаты точки на плоскости - (x0;y0;z0), а координаты вектора, перпендикулярного плоскости - (A;B;C) (он называется вектор нормали к плоскости), то уравнение плоскости записывается так:
A·(xx0) + B·(yy0) +C·(zz0) = 0 .
(20)
Пример 37 Если координаты точки (1;2;3), а координаты вектора (4;5;6), то уравнение запишется так:
4·(x−1) + 5·(y−2) +6·(z−3) = 0 .
Буквы x, y и z - координаты произвольной точки на плоскости. Если вместо них подставить координаты точки на плоскости, то получится верное равенство, если не на плоскости - неверное.
Замечание 4 Левая часть уравнения плоскости похожа на скалярное произведение. А именно, скалярное произведение вектора нормали на вектор, соединяющий две точки на плоскости. И это скалярное произведение приравнивается к нулю. Помедитируйте над этим.
Пример 38 [Пример проверки лежит - не лежит] Вопрос: точка с координатами (7;8;9) лежит на плоскости из примера 37 или нет?
Для проверки подставим:
4·(7−1) + 5·(8−2) +6·(9−3) =
и вычислим
= 90 ≠ 0 .
Как видите, не равно нулю, и, значит, не лежит. А если бы было равно нулю, то лежало бы.
Упражнение 32 Придумайте точку, которая лежит на плоскости из примера 37.
Замечание 5 Скобки в уравнении можно раскрыть, получится то же самое уравнение, но с раскрытыми скобками. Выглядеть оно будет так:
A·x + B·y +C·z + D = 0 ,
где D - некоторое число.
Пример 39 [уравнение с раскрытыми скобками] Уравнение плоскости из примера 37 после раскрытия скобок будет таким:
x + 5·y +6 ·z −32 = 0 .
На самом деле, в примерах 37 и 39 не два разных уравнения а, одно и то же уравнение - с раскрытыми скобками и с нераскрытыми скобками.
Пример 40 [Как извлечь информацию из уравнения плоскости] Если вам дали уравнение плоскости (такое как (37) или (39)), то по числам из уравнения можно извлечь полезную информацию - координаты вектора, перпендикулярного плоскости. Это будут коэффициенты при переменных x, y и z.
Упражнение 33 Какой вектор перпендикулярен плоскости
x+2·y − 3·z + 4 = 0 ?
Пример 41 [Плоскость по точке и двум векторам] Предположим , вам дали координаты точки на плоскости (например, (3;2;1)) и координаты двух векторов, параллельных плоскости (например, (1;2;3) и (4;5;6)), и велели найти уравнение этой плоскости.
Посмотрев на определение 3, вы увидите, что вам не хватает вектора, перпендикулярного плоскости, т.е. перпендикулярного тем самым двум векторам.
Сделав всё так же, как в примере 32, найдем этот вектор (это будет (1;−2;1)) и составим уравнение плоскости так, как это сделано в примере 37:
1·(x−3) − 2·(y−2) + 1·(z−1) = 0 .
Если раскрыть скобки (хотя это и не обязательно), получим
x − 2·y + z = 0 .
Пример 42 [Плоскость по трем точкам] Предположим , вам дали координаты трех точек на плоскости (например, A=(3;2;1), B = (4;4;4) и C=(7;7;7)) и хотят получить от вас уравнение этой плоскости.
Это легко, по паре точек на плоскости найдем вектор, лежащий на плоскости (так, как это сделано в примере 22) и сведем задачу к предыдущей: AB = (4;4;4) − (3;2;1) = (1;2;3) и AC = (7;7;7) − (3;2;1) = (4;5;6). И дальше всё, как в примере 41.
Пример 43 Есть еще один способ решить задачу из примера 42, называется "метод неопределенных коэффициентов". Возьмем "заготовку"
A·x + B·y + C·z + D = 0
и подставим в неё координаты трёх точек. Получится система из трех уравнений с четырьмя неизвестными A, B, C, и D. Осталось найти одно из решений (так, как это сделано в разделе 1.2) и подставить его в "заготовку".
Пример 44 [Задача про пересечение прямой и плоскости] Предположим , вам дали параметрическое уравнение прямой в пространстве:
(21)
и уравнение плоскости:
x−2·y + z − 2 = 0 .
И велели найти точку пересечения этой прямой с этой плоскостью.
Это легко, запишем эти уравнения рядышком и получим систему с четырьмя уравнениями и четырьмя неизвестными.
Решив её, найдем t=1, x=6, y=7 и z=10. Это и есть точка пересечения - (6;7;10). Если представлять себе плоскость как лужу, а прямую как траекторию самолетика, то t=1 - время, в которое самолетик упал в лужу в точку (6;7;10).
Пример 45 [Проекция точки на плоскость] Представьте себе, что у нас есть уравнение плоскости (это как бы лужа) и координаты точки (это как бы камешек). Например, x−2·y + z − 2 = 0, и (5;9;9). Если отпустить камешек, то он будет падать перпендикулярно плоскости и сделает бульк. Точка, в которой камешек сделает бульк, называется проекция точки на плоскость.
Искать её можно так: По уравнению плоскости найдем вектор, перпендикулярный плоскости, как это сделано в упражнении 33.
Например, у плоскости x−2·y + z − 2 = 0 перпендикулярным вектором будет (1;−2;1). По точке, где камушек (5;9;9), и вектору (1;−2;1) найдем уравнение прямой - это будет траектория падения камушка. В нашем случае это уравнение совершенно случайно совпадает с уравнением (21).
По уравнению прямой и уравнению плоскости найдем их точку пересечения, как это сделано в примере 44. Вот и готово.
Упражнение 34 Найдите точку, симметричную точке (6;7;4) относительно плоскости −3·x − 2·y −2·z + 6 = 0.
Пример 46 [Проекция точки на прямую] Эта задача аналогична задаче из примера 45 и решается похожим способом. Для решения нам понадобится "сделать лужу" в нужном месте.
Итак, нам дадут координаты точки (например (1;0;1)) и уравнение прямой, например, уравнение (21). По уравнению прямой найдем вектор, параллельный прямой (это будет (1;−2;1)). (Как это сделать, написано в замечании 3). По той самой точке (1;0;1) и этому вектору составим уравнение плоскости (получится x−2·y + z − 2 = 0). Это и будет наша лужа.
Осталось найти точку пересечения прямой и плоскости, как в примере 44.
Упражнение 35 Найдите точку, симметричную точке  A=(−10; 12; −1) относительно прямой, проходящей через B=(−3; 3; −3) и C=(−7; 7; −2).

4  Производная и дифференцирование

Определение производной может быть легко найдено в любом учебнике по высшей математике.
Для дальнейшего чтения будет достаточно понимать, что производная одной функции - это другая функция, полученная из первой по особым правилам. Из этой главы вы узнаете, что это за правила, и как их применять.
Процесс получения производной из исходной функции называется дифференцированием, а результат дифференцирования, т.е. собственно производная, обозначается "штрихом": f′ - производная f.

4.1  Производная многочлена

Для дифференцирования многочлена понадобятся всего три правила10.
Правило 1 [производная суммы и разности] Производная суммы равна сумме производных:
(u+v)′=u′+v′.
Производная разности равна разности производных:
(uv)′=u′−v′.
И если встречается несколько сложений и вычитаний, то правило аналогичное:
(u1+u2u3±... ±un)′=u1′+u2′−u3′±... ±un′.
Правило 2 [об умножении на число] Число выносится за знак производной:
(α·u)′ = α·(u)′.
Т.е. (3·x5)′ = 3·(x5)′, (x2·15)′ = (x2)′·15, ...
Правило 3 [производная степени]
(xn)′ = n·xn−1.
Т.е. x′=1, (x2)′=2·x, (x3)′=3·x2, (x4)′=4·x3, ...
Если переменной нет, т.е. это просто число, то производная равна нулю: 1′=0, −2′=0, 1488′=0 и даже 0′=0.
Применять эти правила надо в последовательности, обратной к вычислению. Как известно, сначала вычисляется степень, потом умножение, и только потом сложение и вычитание, но с производной все наоборот, сначала следует применять правило "производная суммы и разности", потом "об умножении на число", и в конце "производная степени".
Пример 47
(x3−5·x2 + π·x − 17 )′ =
= (x3)′−(5·x2)′+ (π·x)′− (17)′ =
= (x3)′−5·(x2)′+ π·(x)′− (17)′ =
= 3·x2 − 5·2·x + π·1 − 0 =
= 3·x2 − 10·x + π.

4.2  Таблица производных

В математике встречается много различных функций, и для них для всех существуют свои собственные правила дифференцирования. В таблице 1 приведены производные наиболее популярных функций, их необходимо запомнить.
Таблица 1: Производные популярных функций
В таблице 2 приведены производные менее популярных функций, но и их тоже неплохо было бы запомнить.
Таблица 2: Производные менее популярных функций

4.3  Производная сложной функции

Функции можно подставлять в другие функции.
Пример 48
sin(lnx )
- это функция lnx, подставленная в sin(           ).
ln(sinx )
- это функция sinx, подставленная в ln(             ).
sin(x2)
- это функция x2, подставленная в sin(      ).
(sin(x))2
- это11 функция sin(x), подставленная в (              )2.
Можно подставлять функции друг в друга много раз.
Пример 49 sin( (ln(x3))2) - это12 функция x3, вставленная внутрь ln(      ), который вставлен внутрь (                )2, который вставлен внутрь sin(                        ).
То, что получается в результате, называется сложной функцией13.
Для сложных функций есть специальные правила дифференцирования, но для того, чтобы этими правилами пользоваться, нужно научиться отличать внешнюю функцию от внутренних.
Пример 50
У sin(lnx )
внутренняя функция - lnx, внешняя - sin(           ).
У ln(sinx )
внутренняя функция - sinx, внешняя - ln(             ).
У sin(x2)
внутренняя функция - x2, внешняя - sin(      ).
У (sin(x))2
внутренняя функция - sin(x), внешняя - (              )2.
Пример 51 У sin( (ln(x3))2) внутренняя функция - (ln(x3))2, внешняя - sin(                        ).
Отличать внешнее от внутреннего можно с помощью следующего правила:
Правило 4 Предположим, вместо x подставили число, и теперь нужно вычислить значение получившегося выражения. Мысленно представим себе последовательность действий при вычислении. Последнее действие в этой воображаемой последовательности и есть внешняя функция, а всё остальное - внутренние функции.
Пример 52 Подставим 100500 вместо x в sin( (ln(x3))2). При вычислении sin( (ln(1005003))2), сначала вам придется искать 1005003, затем ln(какое-то число), затем (какое-то число)2, и последним действием будет вычисление sin(какое-то число). Значит, sin(                        ) и есть внешняя функция, а (ln(x3))2 - внутренняя.
Теперь мы можем показать вам
Правило 5 [производная сложной функции]
Его применение кажется несложным:
Пример 53 У sin(x2) внутренняя функция (как бы g) - x2, внешняя (как бы f) - sin(      ). По правилу 3, (x2)′=2·x, по формуле (23) из таблицы 1, (sin(      ))′ = cos(      ), и в результате получится
Пример 54 У (sin(x))2 внутренняя функция - sin(x), внешняя - (              )2. По тем же правилам, что и в предыдущем примере (sin(x))′=cos(x) и ((              )2)′ = 2·(              ). И в результате получится
К сожалению, не все могут научиться пользоваться правилом 5, но мы им поможем и повторим правила дифференцирования в варианте "для сложной функции" в таблицах 3 и 4.
Таблица 3: Производные популярных функций в виде сложной функции
Таблица 4: Производные менее популярных функций в виде сложной функции
В некоторых случаях правило 5 придется применять несколько раз:
Пример 55 Найдем (ln(sin(x2)))′. Определив (по правилу 4) внутреннюю и внешнюю функции (sin(x2) -внутренняя, ln(            ) - внешняя), применим правило 5 (или формулу (30) из таблицы 3) первый раз:
Теперь нужно вычислить (sin(x2))′. Это уже сделано в примере 53. Итак,

4.4  Производная произведения и дроби

С помощью умножения и деления можно составить из более простых функций более сложную.
Пример 56 Вот еще две функции: x2·sin(x) и .
И вот еще два правила:
Правило 6 [производная произведения]
(u·v)′ = u′·v + u·v′.
Правило 7 [производная дроби]
Пример 57 Вот пример применения этих правил:
и

4.4.1  Если вам встретится несколько умножений подряд

Не надо творчески модифицировать правило "производная произведения". Вам следует применять правило 6 последовательно для каждого умножения. Перед этим рекомендуется расставить скобки.
Пример 58 (x2·sin(x)·ln(x))′ после расстановки скобок превращается в
и после применения правила 6 один раз превращается в
Производная в скобках была найдена в предыдущем примере. Итак,

4.5  Производные смешанных выражений

Иногда умножение, деление, сложение, вычитание и сложная функция встречаются в одном выражении. Все правила, необходимые для дифференцирования таких выражений, вы уже знаете, и теперь вам необходимо научиться определять, с которого начинать. Так же, как и в случае сложной функции, у выражений есть "внутренние действия" и "внешнее действие".
Пример 59
У выражения
sin(x+x2) внутреннее действие: x+x2, внешнее действие: sin(    ).
У выражения
sin(x) + x2 внутренние действия: sin(x) и x2, внешнее действие: (    ) + (    ) (скобки добавлены для красоты).
У выражения
sin(x+x2)·5 внутренние действия sin(x+x2) и 5, внешнее действие: (    )·5.
У выражения
sin(x) ·x2 внутренние действия sin(x) и x2, внешнее действие: (    ) ·(    ).
Так же, как и в случае сложной функции, отличать внешнее от внутреннего можно с помощью правила 4.
Пример 60
При вычислении
sin(100500+1005002) последним действием будет sin(число).
При вычислении
sin(100500) + 1005002 последним действием будет (число) + (число).
При вычислении
sin(100500+1005002)·5 последним действием будет (число)·(5).
При вычислении
sin(100500) ·1005002 последним действием будет (число) ·(число).
Так же, как и в случае сложной функции, дифференцирование надо начинать с "внешнего действия".
Пример 61
При дифференцировании
sin(x+x2) сначала следует применять формулу 29 из таблицы 3:
При дифференцировании
sin(x) + x2 сначала следует применять правило 1:
При дифференцировании
sin(x+x2)·5 сначала следует применять правило 2:
При дифференцировании
sin(x) ·x2 сначала следует применять правило 6
Упражнение 36 Завершите дифференцирования в предыдущих примерах.

4.6  Производные корней, логарифмов и степеней

Дифференцирование некоторых функций, не вошедших в таблицы 3 и 4, может быть проделано после преобразований.
Разнообразные корни
на самом деле всего лишь дробные степени
и к ним нужно применять формулу (22) из таблицы 1:
Аналогично,
Выражение 1/(xn) не обязательно дифференцировать по правилу "производная дроби", можно вспомнить про отрицательные степени и опять применить формулу (22) из таблицы 1.
Дифференцирование логарифмов сводится к формуле (24) из таблицы 1:
Степень дифференцируется по формуле (30) из таблицы 3:
(ax)′ = ((elna)x)′ = (e(lnax)′ = e(lnax·lna = lna ·ax .
Для удобства использования мы выписали производные этих функций в отдельную таблицу 5.
Таблица 5: Производные еще нескольких функций

4.7  Производная показательно-степенных функций

Так называют функцию в степени функция.
Пример 62 Всё это показательно-степенные функции:
При дифференцировании выражения вида (uv)′ нельзя применять правило 3, т.к. v не константа. И формулу (38) из таблицы 5 тоже нельзя, т.к. u не константа. Но можно применить прием из раздела 4.6:
и, применив правило 6 и формулу (30) из таблицы 3, получим
Пример 63

4.8  Смысл производной

Одно из важных, часто используемых, но не всегда понимаемых математических понятий - функция.
Функция - это когда одна величина зависит от другой.

Когда вы говорите "чем больше тем лучше", вы упоминаете зависимость между величинами - той, "которая больше", и той, "которая лучше"14.
Функции можно записывать с помощью формул, этим вы в школе и занимались. Исторически так сложилось, что ту величину, "от которой зависит", обозначают буквой x и называют аргумент функции, а ту, "которая зависит", обозначают буквой y и называют значение функции.
Функции можно рисовать в виде графиков, при подготовке к ЕГЭ вы их часто видели. Математики стараются ту величину, "от которой зависит", откладывать по горизонтали, а другую, "которая зависит", по вертикали. Но это не обязательно, иногда рисуют наоборот.

4.8.1  Возрастание, убывание и производная

Как известно функции могут возрастать (это когда чем больше аргумент, тем больше значение) и убывать (это когда наоборот)
Бывает так, что функция где-то возрастает и где-то убывает, и это связано с производной. В ЕГЭ было много задач про возрастание - убывание и производную, для тех кто это не осилил в школе, мы попробуем объяснить всё это ещё раз ещё более понятными словами:
Как известно, скорость автомобильчика может возрастать, а может убывать. А может и не меняться. Как известно водителям автомобильчиков, возрастание и убывание скорости связано с педалями Газ и Тормоз, надеемся, вы понимаете как.
По тому, на какую педаль нажал водитель, можно догадаться, что происходит со скоростью, возрастает она или убывает. И наоборот, по возрастанию и убыванию скорости можно догадаться, какая педаль нажата.
Так вот, у функции тоже есть свои педали. Но педали для функции - это тоже функция, и именно она и называется производная функции.
Например, для x2 этими педалями - производной будет функция 2·x.
Как по производной определить, Газ нажат или Тормоз? А вот как:
Если производная положительная, то это как бы "Газ", и исходная функция возрастает. Если производная отрицательная, то это как бы "Тормоз", и функция убывает.

В ЕГЭ было много задачек с картинками на возрастание - убывание. Надеемся, вы их не проигнорировали.

4.8.2  Максимум и минимум

Производную обычно используют для поиска самого лучшего: Самого большого дохода или самого маленького убытка, или еще чего-нибудь самого большого или самого маленького.
Поразмыслив про Газ, Тормоз, самую большую и самую маленькую скорость, вы, наверное, поймете, что самая большая скорость в тот момент, когда Газ уже отпустили, а Тормоз еще на нажали. А самая маленькая - наоборот. Говоря математически - в тех точках, где производная равна нулю.
Теорема 1 [Ферма] В точках максимума и точках минимума производная равна нулю.
Следует правильно понимать эту теорему:
  1. В ней НЕ сказано, что если производная равна нулю, то в этой точке обязательно максимум или минимум.
  2. В ней сказано, что в точках, где производная НЕ равна нулю, максимума и минимума точно нет, можно не искать.
Как же ею пользоваться?
  1. Найти производную и точки, где она равна нулю. В них максимум и минимум могут быть (а могут и не быть). Это всего лишь подозрительные точки.
  2. Есть в этих точках максимум или минимум, следует проверять дополнительно, другими способами.

4.9  Применение производной

Предположим, вам удалось закончить университет и вы пришли устраиваться на работу. И вам говорят: "Мы решили заняться перепродажей штучек. Сейчас закажем их в интернет магазине, вечером их доставят и утром перепродадим". Оптовая цена у штучки - 50. Потенциальных покупателей у нас 1000. Вопрос: по какой цене продавать. И это действительно вопрос:
  1. Если цену назначить маленькой, то покупателей будет много, но заплатят они мало. Быть может, слишком мало.
  2. Если цену назначить большой, то покупателей будет мало. И заплатят они хоть каждый и много, но в целом мало. Быть может, слишком мало.
Понятно, что требуется найти цену, при которой магазин наварит15 больше всего.
А еще вам говорят, что провели пробные продажи, но из за недостатка времени их было только две:
  1. На первой пробной продаже из 10 проходящих мимо человек 7 согласились купить штучку за 70 (и 3 отказались).
  2. На второй - из 10 проходящих мимо человек 5 согласились купить штучку за 90 (и 5 отказались).
От вашей попытки решить эту очень жизненную задачу зависит ваше будущее, возьмут вас на работу уборщиком/цей или не уборщиком/цей. Сейчас мы расскажем вам, как решается

4.9.1  Задача про оптимальную цену продажи

Понятно, что спрос (т.е. то, сколько штучек купят покупатели) зависит от цены, чем меньше цена, тем больше спрос. Возникает Функция спроса, т.е. зависимость спроса (количества проданных штучек) от цены.
Понятно, что, вообще говоря, это сложная зависимость, и если рисовать её график, то получится сложная линия. Но мы еще маленькие, и поэтому будем её рисовать в виде прямой линии. А еще мы будем предполагать, что покупать будут по одной штучке в руки (потому что так проще считать).
Поскольку мы можем влиять на цену, то цену обозначим буквой x. Поскольку спрос зависит от цены, обозначим спрос буквой y.
По результатам пробной продажи можно найти две точки на этом самом графике с функцией спроса:
  1. Если цена 70, то купят 7/10 от 1000 покупателей, т.е. 700 человек. Итак, если x=70 то y=700.
  2. Если цена 90, то купят 5/10 от 1000 покупателей, т.е. 500 человек. Итак, если x=90 то y=500.
По двум точкам можно найти уравнение прямой (так, как это сделано в примере 7):
y = −10 ·x + 1400 .
(22)
Это и есть функция спроса, т.е. зависимость спроса (т.е. количества купленных штучек, оно обозначено буквой y) от цены (она обозначена буквой x). С её помощью можно "узнавать будущее":
Пример 64 Если продавать по 100, то покупателей будет −10 ·100 + 1400 = 400 человек. На одной штучке мы наварим (100−50)=50 и всего наварим 400·50=2000.
Упражнение 37 А если продавать по 500? Или по 10? Почему такие странные цифры получаются?
Понятно, что навар магазина вычисляется так:
  1. Найдем навар на одной штучке, это цена продажи (это x) минус оптовая цена (это 50). Получится формула (x−50).
  2. Умножим навар на одной штучке на количество проданных штучек (это y). Получится формула y·(x−50).
И, подставив функцию спроса (39) вместо y, найдем формулу зависимости навара от цены:
N = (−10 ·x + 1400)·(x−50)
Осталось найти максимум, как вас учили при подготовке к ЕГЭ.
Упражнение 38 Найдите производную, приравняйте к нулю, найдите максимум, найдите цену, при которой навар самый большой, найдите, сколько штучек купят при такой цене и найдите какой будет навар.

Ответы на упражнения

Упр. 1. Потому что, что бы вы ни подставили вместо чисел x и y, их разность xy не может одновременно равняться 1 и 2.
Упр. 2. Ответ на рисунке 5.
Рис. 6: Ответ к упражнению 2
Упр. 3. Ответ: .
Упр. 4. Ответ: (19;−3). Для проверки следует подставить координаты точки пересечения в уравнения прямых:
Получились два верных равенства, и, значит, всё правильно.
Упр. 8. Ответ: Должно получиться что-то типа "рост в сантиметрах минус сто равно весу в килограммах".
Упр. 12. Ну конечно . Для проверки надо перемножить, что и сделано в примере 12.
Упр. 13. Ответ: Ну конечно Про это написано в упражнении 12.
Упр. 14. Ответ: В этот раз правильным ответом будет
Упр. 15. Ответ:
Урожай должен быть: 120 тонн кокосов и 240 тонн бананов.
Упр. 16. Ответ:
Упр. 20. Для этого следует нарисовать несколько направленных отрезков с одинаковой длиной и одинаковым направлением.
Упр. 21. Ответ: (12; 15).
Упр. 22. Ответ: (1; 2).
Упр. 23. Ответ: (0; 4).
Упр. 24. Ответ: (4; 3.5) и (6; 4.5).
Упр. 25. Ответ: , и .
Упр. 26. Ответ: 5.5.
Упр. 27. Ответ: (−2;1).
Упр. 28. Ответ: D=(−2;3) и C=(1;0). Для решения нужно в качестве AD взять противоположный вектор - (−3;−1).
Упр. 29. Ответ: (1; 0 ; 0). Вместо 1 можно подставить любое другое число.
Упр. 30. Ответ:
Упр. 31. Ответ: (3; −4; 4). Для решения следует найти уравнения прямых так, как это сделано в примере 33. Затем найти точку пересечения, как в примере 36
Упр. 32. Ответ: Подойдет (1;8;15) например. Проверка:  4·(7−1) + 5·(8−8) + 6·(9−15) = 0 .
Упр. 33. Ответ: (1;2;−3)
Упр. 34. Ответ: (−6; −1; −4;). Указание: Сначала найдите проекцию точки на плоскость.
Упр. 35. Ответ: (−12; 10; −1;). Указание: Сначала найдите уравнение прямой, потом проекцию точки на прямую.
Упр. 37. Ответ: Наша функция спроса - слишком грубое приближение к реальности. В среднем диапазоне цен оно имеет смысл, при слишком больших или слишком маленьких ценах - не имеет смысла.
Упр. 38. Ответ: N′ = (−10)·(x−50) + (−10 ·x + 1400), наилучшая цена - 95, купят 450 штучек (именно столько и надо закупить в оптовом магазине), навар на этой операции будет 20250.

Предметный  указатель


аргумент функции, 4.8

вектор, 3.1
вектор нормали, 3.6
вершины параллелограмма, 3.2
внешнее
     действие, 4.5
     функция, 4.3
внутреннее
     действие, 4.5
     функция, 4.3

главная диагональ матрицы, 2.4

деление на матрицу, 2.4
деление отрезка, 3.2
деление умножением, 2.4
дифференцирование, 4.0

закрепленный вектор, 3.1
значение функции, 4.8

как найти:
     Чунга-Чангу, 2.4
     вектор перпендикулярный плоскости, 3.6
     вектор по уравнению прямой, 3.5
     вектор с данным направлением, 3.3
     вершины квадрата, 3.3
     вершины параллелограмма, 3.2
     длины и углы через координаты, 3.3
     единичную матрицу, 2.4
     картинку с прямой по уравнению, 1.4
     координаты
         вектора по точкам, 3.2
         конца вектора, 3.2
     линию регрессии, 2.3, 2.3
     максимум или минимум, 4.8
     матрицу полных затрат, 2.4
     матрицу прямых затрат, 2.4
     обратную матрицу, 2.5, 2.5
     определение обратной матрицы, 2.4
     определение производной, 4.0
     оптимальную цену продажи, 4.9
     параметрическое уравнение прямой, 3.5
     пересечение
         прямой и плоскости, 3.6
         прямых в пространстве, 3.5
         прямых на плоскости, 1.4
     перпендикулярный вектор (к двум векторам), 3.4
     перпендикулярный вектор (к одному вектору), 3.3, 3.4
     плоскость по точке и двум векторам, 3.6
     плоскость по трем точкам, 3.6, 3.6
     площадь треугольника, 3.3
     проверить
         правильность решения системы уравнений, 1.0
     проекцию точки на плоскость, 3.6
     проекцию точки на прямую, 3.6
     произведение матриц, 2.1
     производную, 4.1, 4.2
     производную сложной функции, 4.3, 4.3
     прямую
         по двум точкам, 1.4
     прямую по двум точкам, 3.5
     решение
         матричного уравнения, 2.4
         систем уравнений, 1.3
         системы уравнений, 1.1, 1.2
     решение задачи про штучки, 4.9
     симметричную точку относительно плоскости, 3.6
     систему уравнений в матричном виде, 2.2
     скалярное произведение, 3.4
     скалярное произведение по координатам, 3.3
     точку столкновения, 3.5
     точку, в которой отрезок делится на части, 3.2
     транспонированную матрицу, 2.3
     уравнение плоскости по точке и вектору, 3.6
координаты точек, 3.2

линия
     регрессии, 2.3

матрица
     обратная, 2.4
     полных затрат, 2.4
     прямых затрат, 2.4
     транспонированная, 2.3
метод исключения неизвестных, 1.1
метод наименьших квадратов, 2.3
морской бой, 3.0

направленный отрезок, 3.1
неизвестная
     свободная, 1.2
нормальная система уравнений, 2.3

общее решение
     решение
         система линейных алгебраических уравнений, 1.2
операции с векторами, 3.2

параметр, 3.5
параметрическое уравнение прямой, 3.5
пересечение прямых, 3.5
перпендикулярность векторов, 3.3, 3.3, 3.4, 3.4
последнее действие, 4.3
правила дифференцирования, 4.2
проекция
     точки на плоскость, 3.6
производная, 4.0
     при умножении на число, 4.1
     степени, 4.1
     суммы, 4.1
производная функции, 4.8
псевдорешение, 2.3

свободная неизвестная, 1.2
свободный вектор, 3.1
система линейных алгебраических уравнений
     пример, 1.0
     решение, 1.0, 1.2
система уравнений
     нормальная, 2.3
скалярное произведение, 3.3, 3.3, 3.3, 3.4
сложение векторов, 3.2
сложная
     функция, 4.3
столкновение, 3.5

умножение вектора на число, 3.2

функция
     внешняя, 4.3
     сложная, 4.3
функция спроса, 4.9

частное решение
     решение
         система линейных алгебраических уравнений, 1.2

элементарное преобразование, 1.3

1Да да, любые, первые пришедшие в голову тоже можно подставлять.
2У программистов это называется "перегрузка операторов".
3Этому учат в школе. Если вас не научили, не переживайте, для решения задачек этот навык не понадобится.
4Но если вы скажете на экзамене "возведение матрицы в степень T", то реакция экзаменатора вас удивит, но не обрадует.
5"Но при перестановке множителей произведение может измениться, что делать, если это произойдет?", спросят самые наблюдательные. По некоторым хитрым причинам, если  A·B = E, то и  B·A = E, так что всё в порядке. По научному это называется "левое обратное равно правому обратному".
6Ну почти самым. За последнее время много чего напридумывали.
7http://bit.ly/3agwX69
8В школе рисовали рисуночки, соответствующие сложению, вычитанию и умножению вектора на число. Если вы их уже забыли, срочно погуглите картинки "операции с векторами".
9Напоминаем, что вершины параллелограмма обозначаются "по кругу".
10Это универсальные правила, они применимы не только к многочленам.
11Предостережение: вместо (sin(x))2 часто пишут sin2(x).
12Вам может встретиться выражение sin(ln2(x3)). Не пугайтесь, это то же самое.
13Иногда её называют композицией или суперпозицией функций.
14Так что, оказывается, вы часто используете функции в обычной жизни. А еще вы говорите прозой.
15Вообще-то это называется то ли "доход", то ли "прибыль". Экономисты и экономистки должны знать точное название.


File translated from TEX by TTH, version 4.14.
On 12 Sep 2021, 13:54.