pdf версия (для печати, обе стороны листа:
ma-pk.pdf,
нечетная сторона:
ma-1-pk.pdf,
четная сторона в обратном порядке:
ma-2-pk.pdf).
pdf версия для чтения с экрана телефона:
ma.pdf
Содержание
1 Системы линейных алгебраических уравнений 1.1 Методы решения СЛАУ 1.2 Решение СЛАУ с несколькими решениями 1.3 Метод элементарных преобразований 1.4 Задачи про прямую на плоскости2 Матрицы 2.1 Операции с матрицами 2.1.1 Сложение, вычитание и умножение на число 2.1.2 Умножение матриц между собой 2.1.3 Свойства операций с матрицами 2.2 Матрицы и системы линейных уравнений 2.3 Матрицы и метод наименьших квадратов 2.3.1 Транспонирование матриц 2.3.2 Алгоритм улучшения систем линейных уравнений 2.4 Обратная матрица 2.4.1 Единичная матрица 2.4.2 Определение обратной матрицы 2.4.3 Матричные уравнения 2.4.4 Экономическая модель Леонтьева 2.5 Как искать обратную матрицу 2.5.1 Самый хороший алгоритм поиска обратной матрицы3 Аналитическая геометрия 3.1 Вектора и направленные отрезки 3.2 Координаты точек и векторов. Операции с векторами и координатами. 3.3 Скалярное произведение 3.3.1 Нахождение длин и углов через координаты 3.3.2 Условие перпендикулярности векторов 3.4 Вектора и координаты в пространстве 3.5 Параметрическое уравнение прямой 3.6 Плоскость в пространстве4 Производная и дифференцирование 4.1 Производная многочлена 4.2 Таблица производных 4.3 Производная сложной функции 4.4 Производная произведения и дроби 4.4.1 Если вам встретится несколько умножений подряд 4.5 Производные смешанных выражений 4.6 Производные корней, логарифмов и степеней 4.7 Производная показательно-степенных функций 4.8 Смысл производной 4.8.1 Возрастание, убывание и производная 4.8.2 Максимум и минимум 4.9 Применение производной 4.9.1 Задача про оптимальную цену продажиIndex
Ответы на упражнения
Предметный указатель
1 Системы линейных алгебраических уравнений
Система линейных уравнений
выглядит примерно так:
Для удобства восприятия удобно её записывать в "отформатированном виде":
Пример 1
Вот
красиво записанная система уравнений.
Решением системы уравнений
называются такие числа, которые после подстановки превращают все уравнения в
верные равенства.
Пример 2
Числа
(1;2;3) т.е. x=1, y=2, z=3 есть решение системы из примера 1.
Действительно, после подстановки и вычислений
получим верные равенства.
В природе встречаются системы с несколькими решениями:
Пример 3 [Система с несколькими решениями]
Вот
система уравнений
Вот её решения:
x=1, y=1 - одно решение,
x=2, y=2 - второе решение,
x=3, y=3 - третье решение, ...
И встречаются системы вообще без решений:
Упражнение 1
Докажите,
что у этой системы
нет и не может быть решений.
1.1 Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
Основной
метод решения -
метод исключения неизвестных.
Его суть в многократном применении заклинания:
Выразить одну неизвестную из одного уравнения и подставить в остальные уравнения. |
Пример 4
Решим систему из примера 1.
Сначала выразим y из первого уравнения
и подставим во второе:
и третье
В результате получим систему с меньшим числом неизвестных
и формулу для
нахождения "выраженной" неизвестной
Теперь применим метод исключения неизвестных к системе (1).
Выразим x из первого уравнения
и
подставим в оставшееся уравнение
и в формулу (2) для "выраженной" неизвестной
y = −3 + 2 ·(10 −3·z) + z = −3+20 −6·z + z = 17 − 5·z. |
|
Получилась совсем простая система из одного уравнения с одной неизвестной
и две формулы для нахождения двух исключенных неизвестных
Осталось "выразить" значение z=3 и, "подставив" в
формулы для нахождения x и y, найти значения y=2 и x=1.
1.2 Решение систем линейных уравнений с несколькими решениями
У
систем уравнений может быть и бесконечно много решений (см. пример
3).
Выписать все решения, разумеется, невозможно, но зато можно найти
формулы для удобного нахождения всех решений.
Например, возьмем систему
Исключая неизвестные так же, как это сделано в разделе
1.1, получим формулы
Эти формулы называются
общее решение системы уравнений.
Просто решения (их иногда называют
частные решения системы
уравнений) легко
получить,
подставляя в формулы (
3) вместо
z (эту неизвестную иногда называют
"свободная неизвестная")
любые числа
1.
Например:
- Подставив в (3) вместо z число 0, получим: x=17, y=10, z=0. Это одно частное решение.
- Подставив вместо z число 1, получим x=12, y=7, z=1 - еще одно частное решение.
- И так далее.
Таким образом, по общему решению можно найти
сколько угодно просто решений (частных решений).
1.3 Метод элементарных преобразований
Элементарное преобразование
(системы уравнений) - это когда
одно уравнение умножают на число и прибавляют к другому уравнению. |
Пример 5
Возьмем систему, содержащую уравнения
и применим преобразование "первое уравнение умножить на −2 и прибавить ко второму".
Умножать мы будем "в уме", т.е первое уравнение не изменится, и его мы просто перепишем.
Во втором уравнении имеет смысл проделать вычисления отдельно для каждой неизвестной:
и для "правой части"
В результате получится новая система
Самое ценное для нас свойство элементарного преобразования - следующее:
Утверждение 1
Элементарное преобразование не меняет решений системы уравнений.
(Т.е. у системы (4) и системы (5) решения одинаковые).
Заметим, что процесс "выразить и подставить"
из раздела
1.1
можно представлять себе как несколько элементарных преобразований.
Например, взяв систему из примера
1
и применив два элементарных преобразования:
"первую строчку умножить на 1 и прибавить ко второй"
и "первую строчку умножить на −2 и прибавить к третьей", получим
систему
которая представляет из себя то же, что и система (
1)
(только формула для выражения
y осталась в виде первого уравнения).
То, что в случае применения метода "выразить и подставить" называлось "исключение неизвестной",
в случае применения метода элементарных преобразования выглядит
как "прополка колонки" - в новой системе появляется колонка, в которой почти ничего нет.
Элемент, который "играет активную роль" в "прополке" и который остается в той
самой колонке, называется
ведущий элемент.
(В прошлый раз ведущим элементом был
y из первого уравнения).
Так вот, для того, чтобы последовательность
элементарных преобразований работала так же, как
метод исключения неизвестных,
ведущий элемент следует выбирать в тех строчках, в которых он
еще не выбирался. |
Так что следующим ведущим элементом следует выбирать что-нибудь из
второго или третьего уравнения.
Выберем, например,
x из второго уравнения и
применим:
"Умножить второе уравнение на 2 и прибавить к первому" и
"умножить второе уравнение на −5 и прибавить к третьему".
В результате получится
Осталось "прополоть" третью колонку, используя
−8·
z как ведущий элемент и, получив
найти ответ.
Отметим, что элементарное преобразование
проще (чем метод исключения неизвестной) записывать ручкой на бумаге и проще запрограммировать.
1.4 Задачи про прямую на плоскости
В
школе учили, что уравнение прямой на плоскости
имеет вид
где
x,
y - буквы а
k и
b - числа.
Например,
y=2·
x +3 - уравнение прямой, а 3=2·
x +
b - непонятно что.
Связь между прямой и уравнением осуществляется через координаты:
- Если координаты точки на прямой подставить в уравнение, то получится верное равенство.
- Если к числам, которые после подстановки в уравнение прямой дают верное равенство,
отнестись как к координатам точки, то эта точка будет на прямой.
Пример 6 [Как нарисовать прямую по уравнению]
Уравнение
прямой - это как бы система из одного уравнения с двумя неизвестными.
Найдем несколько решений так, как написано в разделе 1.2, посмотрим на решения как на
координаты точек, нарисуем эти точки и проведем через них прямую.
Обычно хватает двух точек, но для надежности можно нарисовать и больше.
Упражнение 2
Нарисовать
прямую
.
Предметный
указатель
- аргумент функции, 4.8
- вектор, 3.1
- вектор нормали, 3.6
- вершины параллелограмма,
3.2
- внешнее
- действие, 4.5
- функция, 4.3
- внутреннее
- действие, 4.5
- функция, 4.3
- главная диагональ матрицы,
2.4
- деление на матрицу, 2.4
- деление отрезка, 3.2
- деление умножением, 2.4
- дифференцирование, 4.0
- закрепленный вектор, 3.1
- значение функции, 4.8
|
- как найти:
- Чунга-Чангу, 2.4
- вектор перпендикулярный плоскости,
3.6
- вектор по уравнению прямой,
3.5
- вектор с данным направлением,
3.3
- вершины квадрата,
3.3
- вершины параллелограмма,
3.2
- длины и углы через координаты,
3.3
- единичную матрицу,
2.4
- картинку с прямой по уравнению,
1.4
- координаты
- вектора по точкам,
3.2
- конца вектора,
3.2
- линию регрессии,
2.3,
2.3
- максимум или минимум,
4.8
- матрицу полных затрат,
2.4
- матрицу прямых затрат,
2.4
- обратную матрицу,
2.5,
2.5
- определение обратной матрицы,
2.4
- определение производной,
4.0
- оптимальную цену продажи,
4.9
- параметрическое уравнение прямой,
3.5
- пересечение
- прямой и плоскости,
3.6
- прямых в пространстве,
3.5
- прямых на плоскости,
1.4
- перпендикулярный вектор (к двум векторам),
3.4
- перпендикулярный вектор (к одному вектору),
3.3,
3.4
- плоскость по точке и двум векторам,
3.6
- плоскость по трем точкам,
3.6,
3.6
- площадь треугольника,
3.3
- проверить
- правильность решения системы уравнений,
1.0
- проекцию точки на плоскость,
3.6
- проекцию точки на прямую,
3.6
- произведение матриц,
2.1
- производную, 4.1,
4.2
- производную сложной функции,
4.3,
4.3
- прямую
- по двум точкам,
1.4
- прямую по двум точкам,
3.5
- решение
- матричного уравнения,
2.4
- систем уравнений,
1.3
- системы уравнений,
1.1,
1.2
- решение задачи про штучки,
4.9
- симметричную точку относительно плоскости,
3.6
- систему уравнений в матричном виде,
2.2
- скалярное произведение,
3.4
- скалярное произведение по координатам,
3.3
- точку столкновения,
3.5
- точку, в которой отрезок делится на части,
3.2
- транспонированную матрицу,
2.3
- уравнение плоскости по точке и вектору,
3.6
- координаты точек, 3.2
|
- линия
- регрессии, 2.3
- матрица
- обратная, 2.4
- полных затрат, 2.4
- прямых затрат, 2.4
- транспонированная,
2.3
- метод исключения неизвестных,
1.1
- метод наименьших квадратов,
2.3
- морской бой, 3.0
- направленный отрезок, 3.1
- неизвестная
- свободная, 1.2
- нормальная система уравнений,
2.3
- общее решение
- решение
- система линейных алгебраических уравнений,
1.2
- операции с векторами, 3.2
|
- параметр, 3.5
- параметрическое уравнение прямой,
3.5
- пересечение прямых, 3.5
- перпендикулярность векторов,
3.3,
3.3,
3.4,
3.4
- последнее действие, 4.3
- правила дифференцирования,
4.2
- проекция
- точки на плоскость,
3.6
- производная, 4.0
- при умножении на число,
4.1
- степени, 4.1
- суммы, 4.1
- производная функции, 4.8
- псевдорешение, 2.3
- свободная неизвестная, 1.2
- свободный вектор, 3.1
- система линейных алгебраических уравнений
- пример,
1.0
- решение,
1.0,
1.2
- система уравнений
- нормальная, 2.3
- скалярное произведение, 3.3,
3.3,
3.3,
3.4
- сложение векторов, 3.2
- сложная
- функция, 4.3
- столкновение, 3.5
|
- умножение вектора на число,
3.2
- функция
- внешняя, 4.3
- сложная, 4.3
- функция спроса, 4.9
- частное решение
- решение
- система линейных алгебраических уравнений,
1.2
- элементарное преобразование,
1.3
|
1Да да, любые, первые пришедшие в голову тоже можно подставлять.
2У программистов это называется "перегрузка операторов".
3Этому учат в школе. Если вас не научили, не
переживайте, для решения задачек этот навык не понадобится.
4Но если вы скажете на
экзамене "возведение матрицы в степень
T", то реакция экзаменатора вас удивит, но не обрадует.
5"Но при перестановке множителей произведение может измениться, что делать, если
это произойдет?", спросят самые наблюдательные.
По некоторым хитрым причинам, если
A·
B =
E, то и
B·
A =
E, так что всё в порядке.
По научному это называется "левое обратное равно правому обратному".
6Ну почти самым. За последнее время много чего напридумывали.
7http://bit.ly/3agwX69
8В школе рисовали рисуночки, соответствующие сложению, вычитанию
и умножению вектора на число.
Если вы их уже забыли, срочно погуглите картинки "операции с векторами".
9Напоминаем, что вершины
параллелограмма обозначаются "по кругу".
10Это универсальные правила, они применимы не только к многочленам.
11Предостережение: вместо (sin(
x))
2 часто
пишут sin
2(
x).
12Вам может встретиться
выражение sin(ln
2(
x3)). Не пугайтесь, это то же самое.
13Иногда её называют
композицией или
суперпозицией функций.
14Так что, оказывается, вы часто используете функции в обычной
жизни. А еще вы говорите прозой.
15Вообще-то это
называется то ли "доход", то ли "прибыль". Экономисты и экономистки должны знать точное название.
File translated from
TEX
by
TTH,
version 4.14.
On 08 Feb 2024, 20:20.